© Матвеев Вадим Николаевич, Матвеев Олег Вадимович

Контакт с авторами: matwad@takas.lt

Тел.: +37068257895

http://www.absolut.skynet.lt

К темам дискуссий, регулярно обсуждаемым на различных форумах в Интернете, относятся темы, посвященные апориям древнегреческого философа Зенона Элейского. И хотя в дискуссиях нередко звучит мысль о бессмысленности апорий Зенона и о наивности древнего грека, интерес к апориям Зенона не ослабевает.

Одной из наиболее обсуждаемых в наши дни апорий Зенона является апория “Ахиллес и черепаха”, о которой Л.Н.Толстой в романе “Война и мир” писал: “Известен так называемый софизм древних, состоящий в том, что Ахиллес никогда не догонит впереди идущую черепаху, несмотря на то, что Ахиллес идет в десять раз скорее черепахи: как только Ахиллес пройдет пространство, отделяющее его от черепахи, черепаха пройдет впереди его одну десятую этого пространства; Ахиллес пройдет эту десятую, черепаха пройдет одну сотую и т. д. до бесконечности. Задача эта представлялась древним неразрешимою. Бессмысленность решения (что Ахиллес никогда не догонит черепаху) вытекала из того только, что произвольно были допущены прерывные единицы движения, тогда как движение и Ахиллеса и черепахи совершалось непрерывно. Принимая все более и более мелкие единицы движения, мы только приближаемся к решению вопроса, но никогда не достигаем его. Только допустив бесконечно-малую величину и восходящую от нее прогрессию до одной десятой и взяв сумму этой геометрической прогрессии, мы достигаем решения вопроса.

Новая отрасль математики, достигнув искусства обращаться с бесконечно-малыми величинами, и в других более сложных вопросах движения дает теперь ответы на вопросы, казавшиеся неразрешимыми.” Однако, строго говоря, “новая отрасль математики” не дает ответа на вопрос, поставленный Зеноном, а математически описывает тот не укладывающийся в логику Зенона, но конечно же очевидный и для самого Зенона, и для других элеатов факт, что Ахиллес догонит черепаху. Вспомним легенду, согласно которой Диоген, не сумев логически опровергнуть доводов элеатов в пользу иллюзорности движения, принялся, в знак доказательства реальности движения, расхаживать перед элеатами, а когда один из учеников Диогена счел метод Диогена опровержением апорий, избил его палкой за попытку решить логическую апорию, опираясь на чувственное восприятие. Так не заслуживаем ли сегодня диогеновской палки и мы, когда отсутствующий у нас логический антидовод зеноновской логике подменяем математическим описанием очевидного (и для нас, и для элеатов) факта?

Рассматривая апорию “Ахиллес и Черепаха” следует помнить, что это лишь одна из нескольких апорий, показывающих, согласно мнению элеатов, иллюзорность движения, и конечный вывод апории состоит даже не в том, что Ахиллес никогда не догонит черепаху, а в том, что он вообще никогда не стронется с места. Действительно, если между Ахиллесом и черепахой находится вторая черепаха, которая убегает от него, то Ахиллес не догонит и ее, а, следовательно, никогда не пробежит и половины пути до первой черепахи. Если между второй черепахой и Ахиллесом есть третья черепаха, то и т.д.... Короче, Ахиллес вообще не сможет сдвинуться с места и начать движение. Вот главный вывод Зенона – он един и в этой апории, и в “Дихотомии”, где Зенон, рассуждая о том, что движущемуся предмету, чтобы пройти определенный путь, необходимо сначала пройти половину пути, а перед этим половину этой половины, а перед этим ... и так далее до бесконечности, делает вывод, что предмет вообще не может сдвинуться с места. Можно ли считать вывод о невозможности Ахиллеса сдвинуться с места наивным и ни при каких обстоятельствах невозможным?

Как это ни странно звучит, в рамках современной физики такого вывода делать нельзя.. Попытаемся в общих чертах показать это. Назовем состязание в беге между Ахиллесом и черепахой в период времени между началом бега из исходных положений Ахиллеса и черепахи до момента первого прибытия Ахиллеса в то место, где была черепаха, первым этапом сближения Ахиллеса и черепахи. Соответственно перемещение Ахиллеса из этого положения в следующее место пребывания черепахи – вторым этапом и т.д. При учете пространственной протяженности Ахиллеса и черепахи, когда они не рассматриваются как точечные или очень тонкие линейные объекты, апория “Ахиллес и черепаха” теряет смысл уже на первом этапе, если черепаха стоит на месте или ползет настолько медленно, что за время, необходимое Ахиллесу для покрытия расстояния между исходной позицией и местом, где находится черепаха, последняя или не сдвигается вообще, или сдвигается настолько мало, что Ахиллес не может занять то место, с которого она должна уйти вперед по условию апории. Для того, чтобы апория была в согласии с рассуждениями Зенона, необходимо выполнение следующего условия. На каждом этапе сближения за время, пока Ахиллес подбегает к черепахе, черепаха должна успеть уйти со своего места и дать возможность Ахиллесу прибежать туда, где она была ранее и откуда ушла вперед. Это условие связано даже не с опасностью наступить на черепаху (Ахиллес может бежать по соседней дорожке), а с неопределенностью понятия “догнать” по отношению пространственно-протяженным объектам, пересекаемым одной линией (в то время, как кончик носа Ахиллеса уже опережает кончик хвоста черепахи, его затылок еще отстает от него).

Если черепаха длиной 20 см перемещается, скажем, со скоростью 0,1 км/час, Ахиллес бежит со скоростью 25 км/час, а начальное расстояние между Ахиллесом и черепахой равно 12,5 км, то через полчаса Ахиллес завершит первый этап сближения, а еще через 7,2 секунды второй, после чего очередной этап становится невозможным, поскольку не будет выполняться вышеупомянутое условие. Количество этапов сближения пространственно-протяженных Ахиллеса и черепахи определяется соотношением скоростей их движения, их продольными размерами (размерами в направлении движения) и начальным расстоянием между ними. Чтобы получить сколь угодно большое количество этапов сближения можно, конечно, мысленно сколь угодно сильно “сплюснуть” Ахиллеса и черепаху в направлении их движения. По существу, именно путем рассмотрения Ахиллеса и черепахи как линий, не имеющих толщины, и обеспечивается в апории Зенона опережение черепахой Ахиллеса на любом квазифинишном микроэтапе сближения. Но существует и другой способ разложения гонки Ахиллеса и черепахи на сколь угодно большое количество этапов сближения, который позволяет обойтись без надуманного и физически необоснованного “расплющивания” Ахиллеса и черепахи до нуля в направлении их движения. Этот способ состоит в замене места нахождения черепахи на дорожке местом ее нахождения в пространстве. Давайте рассмотрим Ахиллеса, черепаху и дорожку, по которой они бегут, из разных инерциальных систем отсчета. Зададимся вопросом: “С какой скоростью перемещается черепаха в пространстве?” Ответ понятен – скорость перемещения черепахи в пространстве зависит от выбора системы отсчета. Если система отсчета жестко привязана к дорожке, то черепаха перемещается в пространстве этой системы отсчета с указанной скоростью 0,1 км/час, и апория сводится к вышеописанному классическому варианту.

В системе отсчета, которая жестко привязана к черепахе, скорость перемещения черепахи равна нулю, и Ахиллес, движущийся к покоящейся в этой системе черепахе со скоростью 24,9 км/час, уже на первом этапе через 30 мин и 7,2 с догонит черепаху. Но ведь существует и система отсчета, в которой черепаха движется со скоростью 1000 км/час, а Ахиллес, догоняя ее, движется в этой системе отсчета со скоростью 1024,9 км/час в том же направлении, в каком движется черепаха. Если под местом нахождения черепахи понимать не место на дорожке, а место в пространстве данной системе отсчета, то количество этапов сближения в нем (в пространстве) существенно увеличивается. В этом случае уже через 44 секунды после начала гонки с исходного состояния Ахиллес окажется в том месте пространства данной системы отсчета, где эти 44 секунды тому назад была черепаха, причем черепаха сдвинется вперед и окажется на расстоянии 12,2 км от Ахиллеса. Следующий этап сближения потребует несколько меньше времени (около 43 с). Когда расстояние между Ахиллесом и черепахой сократится до 5 м, очередной этап сближения потребует всего лишь 0,017 с. Полное время подбега Ахиллеса к черепахе не зависит от количества этапов – оно одинаково и равно во всех трех рассмотренных системах отсчета 30 мин и 7,2 с. Но тот, кто знаком с азами специальной теории относительности, знает, что об этой “одинаковости” можно говорить лишь при скоростях, много меньших скорости света, да и то в рамках ограниченной точности измерения. Согласно специальной теории относительности, в системах отсчета, в которых объект движется с околосветовой скоростью, все физические процессы, происходящие в этом объекте, замедляются. В системах отсчета, в которых скорость черепахи сколь угодно близка к скорости света и количество этапов сближения стремится к бесконечности, время сближения Ахиллеса и черепахи сколь угодно велико – Ахиллес и черепаха замрут, как в бесконечно долго затянувшейся немой сцене. Кроме того, в таких системах отсчета Ахиллес и черепаха оказываются сплющенными (естественным образом, а не принудительно) – их продольные размеры становятся сколь угодно малыми, причем это не причиняет им вреда.

Итак, в системе отсчета, в которой выполняются все условия Зенона, Ахиллес с черепахой движутся с околосветовой скоростью, и Ахиллес практически никогда не догонит черепаху – он, будучи сплющенным, как блин, застынет в исходном состоянии и практически никогда не сможет начать движение к “блинообразной” черепахе. Вот какое удивительное подтверждение правильности рассуждений древнего грека Зенона, два с половиной тысячелетия тому назад в наивной форме поведавшего о временнóм замедлении физических процессов при выполняемости условий его апории, содержится в специальной теории относительности Эйнштейна.

Источник: SciTecLibrary.ru